Теоретический материал к задаче B8
  Производная функции в точке — основное понятие дифференциального исчисления,
  характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как
предел   отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении
приращения   аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую
производную  
(в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс   вычисления производной
называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной
    На графике F функции f(x) выбирается точка с абсциссой x0
и вычисляется соответствующая   ордината f(x0).
  В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x.
Через точки (x0;f(x0)) и (x;f(x))   на графике F  
функции f(x)    
проводится секущая
  (первая светло-серая линия   A5).   Расстояние
Δx = x — x0
устремляется к нулю,   в   результате   секущая переходит   в
  касательную A
  (постепенно темнеющие   линии   A5 — A1).  
Тангенс   угла α
  между   положительной полуосью и этой касательной A — есть значение производной
функции в точке
x0.
  y= f(x0)+f|(x0)(x- x0) -
уравнение касательной.
  Таким образом, tgα= k = f|(x0)
 1. Значение производной функции f(x) в точке
xo равно tga — угловому коэффициенту   касательной,
проведенной к графику этой функции в данной точке. Чтобы найти угловой  
коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и
ординаты   которых — целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента.
Для этого   построим прямоугольный треугольник ABC, в котором отрезок АВ является гипотенузой.  
Важно помнить, что тангенс острого
угла прямоугольного
треугольника — это отношение   противолежащего катета к прилежащему.
Знак производной (углового коэффициента)   можно определить по рисунку,
например, так: если касательная составляет с   положительной   полуосью   ОХ  
острый угол,
  то производная положительна,
  если касательная составляет с положительной полуосью ОХ тупой угол - отрицательна
 (если касательная параллельна оcи OX, то производная равна нулю).
  2. Производная непрерывной дифференцируемой функции на
промежутке убывания   (возрастания) не положительна (не отрицательна).
 3. Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке xo,
то в этой точке производная функции либо   равна нулю, либо не существует.
Заметим, что при переходе через точку максимума изменяется характер монотонности функции:
  cлева от точки максимума функция возрастает, справа – убывает. Следовательно, изменяются   знаки
производной: слева от точки максимума производная положительна, справа -   отрицательна.
При переходе через точку минимума также изменяется характер монотонности функции:
слева   от точки минимума функция убывает, справа – возрастает. Следовательно, изменяются знаки
  производной: слева от точки минимума производная отрицательна, справа - положительна.
Если же слева и справа от исследуемой точки производная имеет один и тот же знак, то в этой   точке
экстремума нет.
 4. Если функция непрерывна на промежутке Х, и
выполняется неравенство f'(x)> o, то функциия y=f(x)
возрастает на промежутке Х; если же на промежутке Х выполняется неравенство
f'(x)< o, то функциия y=f(x) убывает на этом промежутке.
Если f'(x)=0 на промежутке Х, то на этом промежутке
функциия y=f(x) постоянна.
Если функция непрерывна не только на промежутке, но и на его концах, то эти
точки включаются в промежуток монотонности.
|